728x90 선형대수8 [행렬] 하우스홀더행렬 ■ 개념 하우스 홀더 행렬(Householder Matrix)은 어떤 행렬을 다른 형태로 변환할 때 사용하는 행렬 중 하나이다. 정사각행렬(n*n)이며 모든열이 정규 직교한다고 한다. 정규 직교는 나중에 배울 예정 ■ 공식 위 공식을 따른다. H는 하우스 홀더를 뜻하고 V는 벡터이다. T 수식은 전치이다. vvT는 벡터의 외적이고 vTv는 벡터의 내적이다. I는 앞서 배운 단위 행렬(주대각원소가 1이고 나머지 0)이다. 1 0 2 3으로 구성된 벡터를 예로 계산해봤다. 먼저 벡터의 내적과 외적을 먼저 구해주고 앞서 구한 것들을 이용해 '단위행렬 - [(2 * 외적) / 내적]' 을 계산 해보면 아래 값이 나왔다. ■ 파이썬 위 순서대로 계산기를 돌려보면 수치가 같다는 것을 확인했다. (다른 예제) 임의의.. 2023. 5. 29. [행렬] 이중대각행렬 ■ 개념 이전에 배운 대각 행렬은 주 대각 원소들을 제외한 나머지 원소들이 0인 행렬인 것을 기억할 수 있다. 이중 대각 행렬(Bidiagonal Matrix)은 대각 행렬의 대각 원소의 위 혹은 아래쪽 원소들이 0이 아닌 행렬이다. 종류는 두 가지로 나뉜다. ■ 종류 (1) 상이중대각행렬 (Upper Bidiagonal Matrix) 이름 그대로 주 대각 원소의 바로 위 원소들이 0이 아닌 행렬이다. 한글 표기는 잘 안쓴다고 한다. (2) 하이중대각행렬 (Lower Bidiagonal Matrix) 주 대각 원소 및 그 아래 원소들이 0이 아닌 행렬. ■ 파이썬 교재에서 파이썬 실습을 하기 전에 미리 어떻게 코드를 작성해야할지 고민을 해봤다. 규칙성을 찾기 위해 아래에 위치한 0, 위에 위치한 0들을 .. 2023. 5. 29. [행렬] 영 행렬 ■ 개념 영 행렬 (zero matrix)은 모든 원소가 0인 행렬이다. 주로 ' O '로 표기한다. (예) [영 행렬의 성질] (1) A + O = A (2) A - O = A (3) O - A = -(A) (4) A - A = O (5) OA = AO = O ■ 파이썬 아래에선 Zero의 Z로 변수명을 지정해줬다. ■ 넘파이 ▼ np.array로 바꿨을 때도 동일하다 2023. 5. 7. [행렬] 단위 행렬 ■ 개념 단위 행렬(Identity Matrix)는 주 대각 원소가 1이고 나머지 원소들은 모두 0인 대각 행렬을 의미한다. 표기는 ' I ' 로 표기. [단위 행렬 성질] 기존 행렬과 단위 행렬 간 행렬 곱은 기존 행렬과 동일하다. A = AI = IA 이전 글에서 배운 대각 행렬 변환 방식으로 풀이해보면 모든 원소가 1이 곱해지기 때문에 AI = IA = A라는 것을 알 수 있다. ■ 파이썬 모듈화 해놓은 MatrixOperator에다가 함수를 정의해줬다. 파라미터는 단위 행렬의 행[열]크기다. A = AI = IA 값을 도출했다. ■ 넘파이 2023. 5. 7. [행렬] 대각 행렬 ■ 개념 대각 행렬 (diagonal matrix)은 행렬의 주 대각 원소가 아닌 원소가 0인 정사각 행렬이다. 위 예시 이미지를 보면, 행 번호와 열 번호가 동일한, 주 대각 원소들은 0이 아닌 값이고 나머지가 0인 값들. 이같은 행렬을 대각 행렬이라고 한다. 보통 'D'라고 표시한다. [대각 행렬의 역행렬] 대각 행렬의 역행렬은 D^-1로 표기한다. 0이 아닌 주 대각 원소들의 값들이 분모가되고 분자가 1이 되는 분수가된다. [대각 행렬의 거듭제곱] 대각 행렬의 거듭 제곱은 위와 같이 원소에 거듭 제곱을 해주는 것이다. [대각 행렬와 기준 행렬 간 행렬 곱] 대각 행렬과 기준 행렬을 행렬 곱할때 대각 행렬의 위치(앞, 뒤)에 따라 계산 방법이 달라진다. (1) AD [대각 행렬이 뒷편에 위치] 일경우.. 2023. 5. 7. [행렬] 대칭 행렬 ■ 개념 대칭 행렬 (symmetric matrix)은 기존 행렬과 전치 행렬이 동일한 정사각 행렬이다. (예, 수식) [대칭 행렬의 성질] 종류 설명 및 검증 대칭 행렬 두 개의 덧셈과 뺄셈 = 대칭행렬 (A+B, A-B) 대칭 행렬 간의 덧셈과 뺄셈은 대칭 행렬을 도출한다. 대칭 행렬 간 행렬 곱 != 대칭행렬 (AB, BA) 대칭 행렬간의 행렬 곱은 무조건 대칭 행렬을 도출하지는 않는다. 대칭 행렬의 거듭 제곱 = 대칭행렬 (A^n) 대칭 행렬의 거듭 제곱은 대칭 행렬을 도출한다. 기존 행렬과 전치행렬의 행렬 곱 = 대칭행렬 (A ｔ * A, A * A ｔ) 기존 행렬과 본인의 전치행렬 간의 행렬 곱은 대칭 행렬을 도출한다. ★ 선형대수를 공부하다보면 이 형태를 많이 보게 된다고한다. ■ 파이썬 이.. 2023. 5. 6. [행렬] 전치행렬 ■ 개념 전치 행렬(transposed matrix)은 기존 행렬의 행과 열을 바꾼 행렬이다. 수식은 아래와 같다 만약 3x2의 기존 행렬을 전치 행렬로 변환하면 2x3으로 크기가 바뀌게 된다. (예) 행렬 U를 전치행렬로 변환하면 위에서 볼 수 있듯이 기호 T를 붙인다. * 전치 행렬의 성질 (Aｔ)ｔ = A 행렬 A의 전치행렬 Aｔ를 구한후 다시 Aｔ의 전치행렬을 구할 경우 기존 행렬 A가 된다. (A + B)ｔ = Aｔ+ Bｔ 행렬 A, B의 합을 구한 후 전치행렬을 구한 것은 각 행렬의 전치 행렬들을 더한 값과 같다. (A - B)ｔ = Aｔ - Bｔ 위와 동일한 원리로 뺄셈도 적용된다. (aA)ｔ = aAｔ a는 스칼라를 의미한다. 행렬 A에 스칼라 a를 곱한 후 전치행렬로 변환해도 스칼라 a는.. 2023. 5. 6. [행렬] 스칼라, 벡터 ■ 스칼라 선형대수에서 가장 기본적인 개념. 스칼라(Scalar)는 크기 (Magnitude)만으로 나타낼 수 있는 물리량을 의미한다. 예를 들어 길이(length), 부피(volume), 거리(distance) 등과 같이 크기(magnitude)만으로 나타낼 수 있는 것이 스칼라이다. 쉽게는 '숫자' 하나로 표기된 것 대부분 스칼라라고 생각할 수 있다. 위 데이터들의 집합은 데이터 셋(Data set)이라고 한다. 데이터 셋을 구성하는 하나의 구성 원소[숫자] 하나하나가 스칼라이다. 이때 데이터의 특성(Feature)은 나이, 체중, 키가 된다. 위 예시를 기준으로 스칼라를 기하학적으로 표시한다면 아래와 같다. 스칼라의 연산을 파이썬으로 구현해보면 아래와 같다. 우리가 무의식적으로 연산을 했던 것들이다.. 2023. 4. 28. 이전 1 다음 728x90
